С ноября 2016 года он работал заместителем руководителя аппарата регионального правительства. Елисеев приехал в Калининград из Вологды, где с 2014 по 2016 годы был помощником и заместителем главы города. С 1993 по 2005 годы он проходил службу в органах ФСБ.
В правительстве области Елисеев курировал работу ЗАГСа, отдела бухгалтерского учёта и отчётности, а также представительства в Москве и Санкт-Петербурге. Кроме того, в его задачи входила координация взаимодействия с управлениями федеральных органов исполнительной власти.
Сергей Елисеев имеет два высших образования. В 1993 году окончил Калмыцкий государственный университет, в 1998 году - Академию федеральной службы безопасности. Награждён орденом Мужества, медалями ордена «За заслуги перед Отечеством» и медалью «За отвагу».